Solving systems of linear fuzzy equations by parametric functions

Solving systems of linear fuzzy equations by parametric functions – an improved algorithm

حل دستگاه معادلات فازی خطی با توابع پارامتریک- یک الگوریتم بهبود یافته

 

 

Abstract

Buckley and Qu proposed a method to solve systems of linear fuzzy equations. Basically, in their method the solutions of all systems of linear crisp equations formed by the _-levels are calculated.We propose a new method for solving systems of linear fuzzy equations based on a practical algorithm using parametric functions in which the variables are given by the fuzzy coefficients of the system. By observing the monotonicity of the parametric functions in each variable, i.e. each fuzzy coefficient in the system, we improve the algorithm by calculating less parametric functions and less evaluations of these parametric functions. We show that our algorithm is much more efficient than the method of Buckley and Qu .

چکیده

بوکلی و QU روشی را برای حل دستگاه معادلات فازی خطی پیشنهاد کردند. اساساً در روش شان، تمام راه حل های معادلات موجدار خطی سیستم ها را شکل دادند که به وسیله سطوح آلفا محاسبه می شوند. ما یک روش نوینی را برای حل دستگاه معادلات فازی خطی براساس الگوریتم کاربردی با استفاده از توابع پارامتریک که در آن متغیرها توسط ضریب فازی سیستم داده می شوند را پیشنهاد می کنیم. با توجه به  تک آهنگی (یکنوائی) توابع پارامتریک در هر متغیر، مانند هر کدام از ضریب فازی سیستم، ما الگوریتم را با استفاده از محاسبه توابع پارامتریک کمتر و همچنین بااستفاده از ارزشیابی های کمتر در این گونه توابع بهبود می بخشیم. ما نشان می دهیم که الگوریتم ما نسبت به روش بوکلی و QU کاراتر و موثرتر می باشد.

Key words: fuzzy number, system of fuzzy linear equations.

کلمات کلیدی: عدد فازی ، دستگاه معادلات فازی خطی

1 Introduction

In this paper we search for a proper solution to systems of linear fuzzy equations. In many applications a solution to such systems has to be found. For instance, the finite element method is a well established and a widely used technique for the numerical simulation of different processes and phenomena in structures. The method was initially developed for structural mechanics applications in civil and mechanical engineering. Nowadays the applications area is however extremely wide with problems of heat transport, fluid flow,

1 مقدمه

            در این مقاله ما برای یافتن راه حل بهتر در حل دستگاه معادلات فازی خطی تلاش می کنیم. در بسیاری از کاربردها یک راه برای حل از این قبیل معادلات پیدا شده است. برای نمونه، روش المان محدود یک روش خوب شناخته شده  و تکنیک پرکاربردی برای شبیه سازی عددی پردازش های گوناگون و همچنین شبیه سازی پدیده ها در ساختارها می باشد. این روش در ابتدا برای کاربردهای مکانیکی سازه ای در مهندسی مکانیک و عمران توسعه داده شده بود. به هرحال امروزه گستره کاربردی این روش با مسائلی از قبیل انتقال گرمائی، جریان سیالات، الکترومغناطیس و ... به شدت گسترش یافته است.

electromagnetism, ... The classical finite element method is a deterministic procedure: the structure is characterized by nominal values of geometrical and material properties. The two major steps of the method are the construction of a system of linear equations and solving the obtained system. The result of the analysis is also deterministic. In practice however it is very difficult and in many cases even impossible to define correct and unique input data. Fuzzy arithmetic may provide a solution for those cases. So in the second part of the finite element method with fuzzy parameters, a system of linear fuzzy equations has to be solved. In this paper we search for a solution of the matrix equation:

روش کلاسیک المان محدود یک رویه قطعی (جبری) می باشد: که ساختار آن با استفاده از مقادیر جزئی هندسی و مشخصه های موادی، شکل می گیرند. دو گام اصلی این روش، ساخت دستگاه معادلات خطی و حل دستگاه بدست آمده(ایجاد شده) می باشد. همچنین نتایج آنالیز ها نیز جبری می باشد. به هرحال در عمل خیلی دشوار و حتی در برخی موارد غیرممکن می باشد تا ورودی داده ویژه و درستی را بتوانیم تعریف کنیم. محاسبات فازی ممکن است تا بتوانند یک راه حل برای اینگونه موارد فراهم آورد. بنابراین در بخش دوم از روش المان محدود با پارامترهای فازی، دستگاه معادلات فازی خطی حل شده است. در این مقاله ما در جستجوی حل یک معادله ماتریسی می باشیم:

 

 

for x˜ = [x˜k]n×1 where A˜ = [a˜ij ]n×n is a matrix with fuzzy numbers as entries and ˜b = [˜bk]n×1 is a vector of fuzzy numbers. Differently expressed,

که ~x یک بردار n×1 می باشد و  ˜A یک ماتریس n×n با ورودی های اعداد فازی و~b یک بردار n×1 از اعداد فازی می باشد. که به بیان دیگر می توان نشان داد:

 

where fuzzy multiplication and addition based on the extension principle of Zadeh are used. Fuzzy numbers will be here denoted by a lowercase letter with a tilde, e.g. ˜a, and a vector of fuzzy numbers will be denoted as

که جمع و ضرب فازی براساس قاعده بسط "زاده" استفاده می گردد. اعداد فازی با استفاده از حرف کوچک با یک تایلد (~) نشان داده خواهد شد، مانند ~a و برداری از اعداد فازی به شکل زیر نمایش داده خواده شد.

 

where for any matrix A the transposed matrix is denoted as AT . Sometimes we will denote the i-th component of ˜b by (˜b)i. Real numbers will be represented by a lowercase letter, e.g. a, and vectors of numbers will be denoted as b =(b1, b2, . . . , bn)T . An interval is here written as [x, x]. Taking the α-levels of these equations we obtain systems of linear interval equations:

که برای هر ماتریس A، ماتریس ترانهاده با AT نشان داده می شود.در برخی مواقع ما iامین عنصر بردار ~b را با (˜b)i مشخص خواهیم کرد. اعداد حقیقی با استفاده از حروف کوچک مانند a نشان داده خواهند شد، و برداری از اعداد با استفاده از b=(b1, b2, . . . , bn)T  مشخص می شوند. یک بازه در اینجا با مشخصه [x,x] نوشته می شود. با بردن سطوح آلفای این معادلات، ما معادلات بازه ای خطی سیستم ها را بدست می آوریم:

 

 

This solution is denoted with ˜xe as it is the exact solution of the system; when it is reentered into the system the equations are satisfied. However, these interval equations are hard to solve exactly and often (xj)_ and (xj)_ do not generate a fuzzy number (see [4]). This is based on a earlier result that solutions to systems of linear interval equations are not necessarily intervals (see [7]).

در این راه حل  با ˜xe مشخص می شود، همانطوری که به عنوان راه حل دقیق سیستم می باشد؛ هنگامی که آن دوباره به درون سیستم وارد می شود معادلات موازنه می شود. به هرحال، این معادلات بازه ای خیلی سخت هست تا بتوان آنها را به دقت حل کرد و اغلب α(xj) و α(xj) یک عدد فازی را تولید نمی کند.( [4] را ببینید). این براساس نزدیکترین نتیجه آن راه حل ها برای معادلات بازه خطی سیستم ها می باشد که لزوماً بازه ای نیستند( [7] را ببینید).

Consequently the exact solution does not exist and therefore the search for an alternative solution has a solid ground. There are already some alternative approaches known in literature. Fuller [6] considers a system of linear fuzzy equations with Lipschitzian fuzzy numbers. He assigns a degree of satisfaction to each equation in the system and then calculates a measure of consistency for the whole system. Abramovich et al. [1] try to minimize the deviation of the left hand side from the right hand side of the system with LRtype fuzzy numbers. Both methods try to approximate the exact solution, i.e., they try to minimize the error when one re-enters the solution into the system. In practice however it is more convenient to base the solution on the ‘United Solution Set’ used for systems of linear interval equations (see [23,28,32,33]):

درنتیجه راه حل دقیقی وجود ندارد و بنابراین جستجوی راه حل جایگزین پایگاه محکمی دارد. پیش از این برخی از رویکردهای شناخته شده جایگزین در نوشتجات (مقالات) وجود دارد. فولر[6] یک سیستم معادلات فازی خطی را با اعداد فازی Lipschitzian بررسی نمود. او یک درجه رضایتمندی را برای هر معادله در سیستم نسبت داد و سپس اندازه سازگاری را برای کل سیستم محاسبه کرد. ابراموویج [1] تلاش کرد تا انحراف سمت چپ و سمت راست سیستم را با اعداد فازی LRtype  کمینه کند. در هر دو روش تلاش براین است تا به راه حل دقیق نزدیک شود، به عنوان مثال آنها سعی داشتند تا خطا را کمینه کنند هنگامی که یک شخص دوباره راه حل را در سیستم وارد می کند. به هر حال درعمل راحت تر است راه حل بر روی "مجموعه راه حل تجمیعی"  استفاده شده برای سیستم های معادلات بازه ای خطی را مبنای کار قرار دهیم. ( [23,28,32,33] را ببینید)

 

In that way a safety margin for the solution is considered, because all possible solutions of systems in the support of the fuzzy parameters of the system are taken into account. A consequence of using the algebraic or exact solution is that the solution becomes less fuzzy as the coefficients in the matrix become more fuzzy. Moreover, if the support of the left hand side of the system A˜x˜ is too big, then the algebraic or exact solution doesn’t exist. This is counterintuitive. If the system becomes more fuzzy, the solution should also be fuzzier.

در آن روش حاشیه امنیتی برای راه حل درنظر گرفته می شود، بخاطراینکه همه راه حل های قابل انجام سیستم در پشتیبانی (ساپورت) از پارامترهای فازی سیستم بحساب آمده اند. یک نتیجه در استفاده ازراه حل جبری یا راه حل دقیق این است که راه حل کمتر فازی می شود در حالیکه ضریب ها در ماتریس فازی تر می شوند. بعلاوه اینکه، اگر ساپورت سمت چپ سیستم A˜x˜ خیلی بزرگ باشد، آنگاه راه حل جبری یا دقیق وجود ندارد. این برخلاف انتظارات و پیش بینی ها می باشد. اگر سیستم فازی تر شود، در نتیجه راه حل نیز فازی تر می گردد.

Therefore it is more natural to base the solution on the ‘United Solution Set’. As described in [17] the fuzzy finite element method is also based on solving all possible systems. The ‘United Solution Set’ provides a more probabilistic approach of the problem. The solution based on the ‘United Solution Set’ provides the probability that a certain crisp solution is the ‘right’ solution of the system. Buckley and Qu [4] have based their solution on the ‘United Solution Set’. We follow their line of reasoning although the algorithm to find this solution can be optimized.  Here we will give a practical algorithm to find a solution for systems of linear fuzzy equations with as only requirement the matrix of the system being regular. In the second section the most important notions used are mentioned. Section 3 gives the theoretical background of the solution of Buckley and Qu as well as of our practical algorithm. Section 4 provides the implementation of the proposed practical method. Lastly, considerations about the computation time are expressed.

بنابراین خیلی طبیعی تر است تا راه حل را بر مبنای  مجموعه راه حل تجمیعی بگذاریم. همانطوری که در [17] شرح داده شد روش المان محدود فازی نیز بر مبنای حل همه سیستم های ممکن یا شدنی شکل گرفته است. "مجموعه راه حل تجمیعی" یک رویکرد محتمل تری از مسئله را فراهم می سازد. راه حل برمبنای USS یک احتمال را فراهم می سازد که راه حل شکننده(crisp) خاص به عنوان راه حل درست برای سیستم می باشد. بوکلی و QU [4] راه حلشان را براساس USS شکل داده اند. ما مسیر استدلالی آنها را دنبال می کنیم اگرچه الگوریتم برای یافتن این راه حل می تواند بهینه سازی شود. در اینجا ما یا الگوریتم کاربردی را برای یافتن یک راه حل برای سیستم های با معادلات فازی خطی به عنوان تنها نیازی که ماتریس سیستم منظم می شود را خواهیم داد. در بخش دوم مهمترین مفاهیم استفاده شده یادآوری می شود. بخش سوم دورنمای تئوری (نظری) راه حل بوکلی و QU علاوه بر الگوریتم کاربردی ما را نشان می دهد. بخش 4 پیاده سازی روش کاربردی پیشنهاد شده را فراهم می کند. در پایان، رسیدگی ها درباره زمان محاسبات بیان می شود.

2 Preliminaries

First we recall some definitions concerning fuzzy numbers (see e.g. [15]). Let A ∈ F(R) (the class of fuzzy sets on the real line). Then A is convex if and only if

2 مقدمات

در ابتدا ما برخی از تعاریف درباره اعداد فازی را یادآوری می کنیم (نمونه [15] را ببینید). بگذارید A ∈ F(R) (کلاس مجموعه فازی بر روی خط حقیقی). پس A کوژ (محدب) است اگر و تنها اگر

 

If for x ∈ R it holds that A(x) = 1, then we call x a modal value of A. A unique modal value of A is denoted as modA. The support of A is defined as

اگر برای x ∈ R آن نگه داشته باشد که A(x) = 1، پس ما x را به عنوان مقدار معین A می نامیم. یک مقدار معین خاص از A با modA مشخص می شود.

ساپورت A بصورت زیر مشخص می شود:

 

For a mapping f from R into R, especially for a mapping from R into [0, 1], f is called upper-semicontinuous when f is right-continuous where f is increasing and f is left-continuous where f is decreasing.

با نگاشت f از R به R ، مخصوصاً برای یک نکاشت از R به [0 , 1]، f  نیمه پیوسته از بالا نامیده می شود هنگامی که f پیوستگی راست داشته باشد درجایی که f صعودی می باشد و f پیوستگی چپ دارد درجایی که f نزولی می باشد.

Definition 1 [15] A fuzzy number is defined as a convex upper-semicontinuous fuzzy set on R with a unique modal value and bounded support. Wedenote the set of all fuzzy numbers by FN.

تعریف 1 [15]

یک عدد فازی به عنوان مجموعه فازی نیمه پیوسته بالا محدب بر روی R با یک مقدار کیفی خاص و ساپورت کراندار تعریف می شوند. ما مجموعه همه اعداد فازی را با FN نشان می دهیم.

A fuzzy number ˜a can be represented by its α-levels (0 < α ≤ 1):

یک عدد فازی~a  می تواند با استفاده از سطوح آلفا (0 < α ≤ 1) ارائه شود:

 

Note that the α-levels of a fuzzy number are closed and bounded intervals (see Definition 1). One extends the support and the α-levels componentwise for vectors or matrices of fuzzy numbers. The arithmetic of fuzzy numbers is based on Zadeh’s extension principle: let ˜a and ˜b be two fuzzy numbers, then the sum of ˜a and ˜b, denoted by ˜a ⊕˜b, is given by, for all z ∈ R,

توجه کنید که سطوح آلفای اعداد فازی بازه های کراندار و بسته هستند. (تعریف 1 را ببینید). یک نفر شکل جزئی سطوح آلفا و ساپورت را برای بردارها و ماتریس های اعداد فازی توسعه داده است. محاسبات اعداد فازی براساس قوائد بسط زاده می باشند: فرض کنید ~a و ~b دو عدد فازی باشند، که جمع  ~a و ~b با ˜a ⊕˜b نشان داده می شود برای تمام z ∈ R

 

Analogous definitions follow for the multiplication, subtraction and division of fuzzy numbers. The fuzzy arithmetic based on the sup-min convolution (see (1)) can also be calculated by interval arithmetic applied to the α-levels.

شبیه تعاریف برای ضرب، تفریق و تقسیم اعداد فازی را نیز پی بگیرید. محاسبات فازی بر اساس پیچیدگی sup-min همچنین می تواند با استفاده از محاسبات بازه ای بکار رفته در سطوح آلفا محاسبه شوند.

Definition 2 [18] Given two intervals [x, x] ⊆ R and [y, y] ⊆ R, the four elementary operations on intervals are defined by

تعریف 2 [18]

با دو بازه [x, x] ⊆ R  و  [y, y] ⊆ R داده شده، عملگرها چهارگانه بر روی این بازه ها با استفاده از ذیل تعریف می شوند:

 

It is well-known that (˜a ⊕˜b)_ = ˜a_ +˜b_ and similarly for ⊗.


این خیلی شناخته شده است که (˜a ⊕˜b)_ = ˜a_ +˜b_ و بطور مشابه برای ⊗.

 

3  Solving systems of linear fuzzy equations

We require that the matrix A˜ of fuzzy numbers is regular in the sense that the matrix A−1 exists for all aij ∈ supp(˜aij). Buckley and Qu [4] proposed to construct a set of all real solutions corresponding to the real systems composed with the elements in a certain α-level instead of trying to find a vector that satisfies the equality of the system. They define the solution by, for all α ∈ [0, 1],

3 حل دستگاه های معادلات فازی خطی

ما نیاز داریم که ماتریس A˜ دارای اعداد فازی منظم است به این معنی که ماتریس A−1برای همه aij ∈ supp(˜aij) وجود دارد. بوکلی و Qu [4] پیشنهاد کردند تا مجموعه ای از همه راه حل های حقیقی متناظر با دستگاههای حقیقی مرکب از مقادیر سطح آلفای مشخص را بجای تلاش برای یافتن یک بردار که معادله دستگاه را برقرار کند، بسازند. انها راه حل را با استفاده از برای همه آلفاهای α ∈ [0, 1] تعریف کردند:

 

 

 

We see that ˜xB is defined as a fuzzy set on Rn and not as a vector of fuzzy numbers. Therefore ˜xB(x) expresses to what extent the real vector x is a solution of the system of linear fuzzy equations ˜ A˜x = ˜b. We prefer to define a solution as a vector of fuzzy numbers: the non-convex α-cuts of ˜xB are difficult to describe and usually the smallest hypercube around the α-cuts is taken to describe them, so for every α-cut for every component the minimum and maximum is taken. Therefore we give a membership degree to every component of the solution vector and then (˜xB)i(x) expresses the degree to which x belongs to the fuzzy set (˜xB)i, independent of (˜xB)j , for all j <> i. We thus define for all x ∈ R and for all i ∈ {1, 2, . . . , n}

ما می بینیم که ˜xB به عنوان مجموعه فازی بر روی Rn تعریف شده است و به عنوان بردار اعداد فازی تعریف نشده است. بنابراین ˜xB(x)تصریح می کند که تا چه حد بردار حقیقی x یک راه حل دستگاه معادلات فازی خطی ˜ A˜x = ˜b می باشد.ما ترجیح می دهیم تا راه حلی را به عنوان برداری از اعداد فازی تعریف کنیم: برش های آلفا غیرمحدب ˜xB به سختی می تواند توصیف کند و معمولا کوچکترین ابرمکعب برروی برش های آلفا برای توصیف آنها بکار برده می شود، پس برای هر یک از برش های آلفا در هر عنصری، مینیمم و ماکزیمم برداشته می شود. بنابراین ما درجه عضویت را برای هر عنصری که بردار راه حل می باشند می دهیم و پس از این (˜xB)i(x) بیانگر درجه می باشد که x متعلق به مجموعه فازی (˜xB)I ، مستقل از(˜xB)j برای I<>J می باشد. از این طریق ما برای کلیه x ∈ R و

همه i ∈ {1, 2, . . . , n} تعریف می کنیم:

where xi denotes the i-th component of x. This method is purely theoretical: in fact all real systems are solved. When all these systems have to be solved, the computation time will be large. In [34] we proposed a practical algorithm to compute the solution. Instead of solving all these real systems, we determined parametric functions of these solutions. Now we recall shortly the method proposed in [34]. The new method which will be given in this paper is based on it.

که xi بیانگر iامین عنصر xمی باشد. این روش به کلی تئوریکال می باشد: در حقیقت همه دستگاههای حقیقی حل می شوند. هنگامی که قرار است تا تمامی این دستگاهها حل شوند، زمان پردازش خیلی بزرگ خواهد شد. در [34] ما یک الگوریتم عملی برای پردازش راه حل پیشنهاد می کنیم. بجای حل همه دستگاههای حقیقی، ما توابع پارامتریک این راخه حل ها را مشخص می کنیم. اکنون ما مرور کوتاهی را بر روی روش پیشنهادی در [34] را انجام می دهیم.روش جدیدی که در این مقاله آمده است براساس این روش می باشد.

Note 1: The requirement of regularity of the matrices A for all aij ∈ supp(˜aij) is a logical demand because if A is singular for some aij in the α-level of a fuzzy number ˜aij , then the solution vector ˜x may be far more complicated. Since the real matrix is singular, the corresponding solution can be unbounded. Therefore the solution set (α) can also be unbounded and then it is difficult to describe ˜xB. For example, (α) can be the n-dimensional space in the case we have a linear system of n equations and n variables. In the literature about systems of linear interval equations, the regularity of the interval matrix A is also required and the cases where there is indeed a singular matrix are not considered (see e.g. [2,7,9,13,14,16,19,24,25,27,29,30]).

نکته 1:

شرط لازم برای نظم و قاعده ماتریس های A برای تمام aij ∈ supp(˜aij) یک تقاضای منطقی می باشد چرااینکه اگر A برای برخی از aij در سطح آلفای عدد فازی ˜aij یکتا باشد، پس راه حل بردار ˜x ممکن است خیلی خیلی پیچیده باشد. از آنجایی که ماتریس حقیقی یکتا(منحصر به فرد) می باشد، راه حل مربوطه می تواند نامحدود (بی کران) باشد. بنابراین مجموعه راه حل (α) نیز می تواند بی کران باشد و ازاینرو دشوار است تا  ˜xB را توصیف کنیم. برای مثال، (α) می تواند در فضای n بعدی در حالتی که ما یک دستگاه خطی n معادله و n متغیره داریم، باشد. در متون، درباره دستگاههای معادلات بازه ای خطی، نظم و قاعده ماتریس بازه ای A موردنیاز می باشد و حالت هایی که واقعا یک ماتریس یکتا وجود دارد، درنظرگرفته نمی شود. (برای نمونه [2,7,9,13,14,16,19,24,25,27,29,30] را ببینید.)

3.1 Systems with one fuzzy coefficient

We first consider the case that we have to solve a system of linear fuzzy equations in which exactly one of the coefficients is a fuzzy number and the other coefficients are real. Without loss of generality we may assume that ˜a11 is a fuzzy number. So we consider the following matrix equation:

3.1 دستگاه هایی با یک ضریب فازی

ما در ابتدا حالتی را که می خواهیم دستگاه معادلات فازی خطی را حل کنیم را درنظر می گیریم که دقیقاً در آن یکی از ضرایب عدد فازی و دیگر ضرایب عدد حقیقی میباشند. بدون از دست دادن کلیت مسئله، ممکن است فرض کنیم که ˜a11 یک عدد فازی می باشد. بنابراین ما معادله ماتریسی زیر را درنظر می گیریم:

 

where ˜a11 is a fuzzy number and aij ∈ R, for all (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 \ {(1, 1)}, and bk ∈ R, for all k ∈ {1, . . . , n}. In order to obtain the solution ˜xP of (4), we have to solve the real systems

که ˜a11 عدد فازی و aij ∈ R برای همه (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 \ {(1, 1)} و bk ∈ R برای همه k ∈ {1, . . . , n}. بمنظور بدست آوردن پاسخ ˜xP در رابطه (4)، ما باید دستگاه های حقیقی را حل کنیم:

 

 

 

for all a11 ∈ ]a11, a11[ = supp(˜a11). Note that a11 <> a¯11 since we assumed ˜a11 is a fuzzy number. We can solve all of these systems through Cramer’s rule thanks to the non-singularity of every real matrix A(a11), for all a11 ∈ supp(˜a11). So we can write the solution for every component as a quotient of two determinants:

برای همه a11 ∈ ]a11, a11[ = supp(˜a11) می باشد. دقت داشته باشید از آنجایی که ما˜a11 را عدد فازی فرض کرده ایم، a¯11 با a11 برابر نیستند. ما می توانیم همه این دستگاهها را از طریق قاعده کرامر به لطف غیریکتایی هر کدام از ماتریس های حقیقی A(a11)، برای هر supp(˜a11) ∈ a11 حل نمادیم. پس ما می توانیم پاسخی را برای هر مولفه به عنوان خارج قسمت دو دترمینان بنویسیم:

 

The determinant of a matrix A is denoted as |A|. By expanding the determinants

in the numerator and the denominator along the first row, we can write each component of the solution using parameters c1j , c2j , c3 and c4:

دترمینان ماتریس A بصورت |A| نشان داده می شود. با بسط دترمینان ها در  صورت و مخرج کسر در امتداد سطر نخست، ما می توانیم هر مولفه از پاسخ را با استفاده از پارامترهای c1j، c2j، c3 و c4 بنویسیم.

 

Due to this result, every solution can be written using parametric functions with variable a11. Note that c1j and c2j are dependent of j due to the fact that the j-th column in the numerator contains the components of b. On the other hand, the denominator is the same for
all j ∈ {1, . . . , n}, so c3 and c4 are independent of j.

با توجه به این نتایج، هر پاسخی می تواند با استفاده از توابع پارامتریک با متغیر a11 نوشته شود. توجه کنید که c1j و c2j وابسته به j می باشند با توجه به این واقعیت که j امین ستون در صورت کسر شامل مولفه b می باشد. به عبارت دیگر، مخرج کسر برای تمام j ∈ {1, . . . , n} مشابه می باشد، بنابراین c3 و c4 مستقل از j می باشند.

In [34] we proposed the following method to solve (4). First we compute the

determinants of the matrices A(a11) and A(a11). The real parameters c3 and c4 are obtained by solving the following system of linear equations:

در [34]، ما روش زیر را برای حل رابطه (4) پیشنهاد می کنیم. نخست ما دترمینان ماتریس A(a11 up) و ماتریس A(a11 down) را محاسبه می کنیم. پارامترهای حقیقی c3 و c4 با استفاده از راه حل دستگاه معادلات خطی زیر بدست می آید:

 

and denote by x = (x1, . . . , xn)T and x = (x1, . . . , xn)T the solutions of (7) and (8) respectively. Then, for all j ∈ {1, . . . , n}, we obtain the real numbers c1j and c2j by solving the following system of real equations:

و  x¯= (x¯1, . . . , x¯n)T در راه حل 8 و x = (x1, . . . , xn)T در راه حل 7 می باشند. بنابراین، برای
همه j ∈ {1, . . . , n}، اعداد حقیقی c1j و c2j با حل دستگاه معادلات حقیقی زیر بدست می آیند:

 

Since a11 <> a11, there is never a problem in dividing with a11 − a11. Consequently, all possible solutions for the real systems A(a11)x = b, for all a11 ∈ supp(˜a11), can be obtained using (5). We define for all j ∈ {1, . . . , n} the fuzzy number ˜xj by

از آنجائیکه a11 بالا مخالف a11 پایین می باشد، بنابراین هیچ مشکلی در تقسیم بر مقدار تفاضل این دو عدد وجود ندارد. درنتیجه، همه راه حل ها برای دستگاه های حقیقی A(a11)x = b، برای همه a11 ∈ supp(˜a11)، می توانند با استفاده از رابطه (5) بدست بیایند. ما برای همه j ∈ {1, . . . , n} ، عدد فازی xj را با استفاده از رابطه ذیل تعریف می کنیم:

 

for all x ∈ R\ fj(supp(˜a11)). Note that fj is continuous as the denominator is never equal 0 because of the regularity of the matrix A˜, that (x˜j)_ = fj((a11)_) (see [26]) and that ˜a11 is a fuzzy number. Thus ˜xj is a fuzzy number. Note also that it is possible that fj(a11) = fj(a′11) for two different a11, a′

11 ∈ supp(˜a11); this happens e.g. when a12 = a13 = . . . = a1n = b1 = 0, since then fj(a11) =c1j/c3

, for all a11 ∈ supp(˜a11). We denote the thus obtained solution of (4) as ˜xP = (˜x1, . . . , ˜xn)T .

برای همه x ∈ R\ fj(supp(˜a11)) . توجه کنید که fjپیوسته می باشد و به عنوان مخرج کسر، بخاطر نظم و قاعده ماتریس A˜هرگز برابر صفر نمی شود، که (x˜j)_ = fj((a11)_) می باشد ([26] را ببینید) و ˜a11 یک عدد فازی می باشد. بنابراین ˜xj  یک عدد فازی می باشد. توجه کنید که ممکن است برای دو a11 و a11پرین مختلف که متعلق به supp(˜a11) می باشند، fj(a11)  و fj(a′11)برابر باشند؛ به عنوان مثال این زمانی رخ می دهد که a12 = a13 = . . . = a1n = b1 = 0 باشد، از آنجایی که fj(a11) = c1j/ c3 برای همه a11 ∈ supp(˜a11) . ما راه حل بدست آمده از رابطه (4) را با استفاده از as ˜xP = (˜x1, . . . , ˜xn)T  نشان می دهیم.

Theorem 1 [34] The solution ˜xP obtained by the method described above equals the solution ˜xB obtained in (3).

When the fuzzy number is located in the right-hand side of the system of

linear fuzzy equations, i.e. when we have for instance that ˜b = (˜b1, b2, . . . , bn),

one sees immediately that c3 = 0 and c4 = |A|. So we only have to solve the systems

قضیه 1 [34] :

پاسخ ˜xP بدست آمده بوسیله روش توضیحی بالا برابر با پاسخ ˜xB بدست آمده در رابطه (3) می باشد. هنگامی که عدد فازی در سمت راست دستگاه معادلات فازی خطی قرارگرفته باشد، به عنوان مثال هنگامی که ما برای نمونه داشته باشیم  ˜b = (˜b1, b2, . . . , bn)، فوراً c3=0 و c4 = |A| مشاهده می گردد:

 

to find c1j and c2j for j ∈ {1, . . . , n}. The function fj is then given by, for all

تا c1j و c2j را برای j ∈ {1, . . . , n} بیابیم. تابع fj داده شده است به وسیله، برای هر

 

 

and the solution ˜xP = (˜x1, . . . , ˜xn)T is given by, for all j ∈ {1, . . . , n},

و پاسخ ˜xP = (˜x1, . . . , ˜xn)T بصورت زیر داده شده است، برای هر j ∈ {1, . . . , n} داریم:

 

for all x ∈ f(supp(˜b1)), and ˜xj(x) = 0, for all x ∈ R \ f(supp(˜b1)). Similarly as before, we find that ˜xP = ˜xB.

برای هر x متعلق به f(supp(˜b1))، و ˜xj(x) = 0، برای هر x ∈ R \ f(supp(˜b1)). مشابه قبل، ما مقدار ˜xP ر ا برابر با مقدار ˜xB یافتیم.

Moreover we see that the function fj is monotone. Indeed, it follows that fj(a11) =  (a11ˆc1j+ˆc2j)/(a11ˆc3+ˆc4) , for some real numbers ˆc1j , ˆc2j , ˆc3 and ˆc4. We calculate, for all a11 ∈ supp(˜a11), where the denominator is always strictly greater than 0 because of the regularity of the matrix A˜. Hence fj is monotone.

علاوه بر این ما می بینیم که تابعfj  یکنواخت است. درواقع، به این معنی که fj(a11) =  (a11ˆc1j+ˆc2j)/(a11ˆc3+ˆc4)، برای برخی از اعداد حقیقی ˆc1j، ˆc2j، ˆc3j و ˆc4j .ما برای هر a11 ∈ supp(˜a11) محاسبه می کنیم،

 

که مخرج کسر بخاطر قاعده ماتریس A˜ همواره بزرگتر از صفر می باشد. از اینرو fj یکنواخت می باشد.

Therefore we only have to solve the real systems with the lower and upper limit of a certain α-level, denoted for example by (˜a11) α and (˜a11) α respectively, to find the α-level of the solution. We denote this solution by xI :

بنابراین ما تنها باید دستگاه حقیقی را با حد بالا و پایین یک سطح آلفای مشخص حل کنیم، که برای نمونه بترتیب با (˜a11)α و (˜a11)α نشان داده می شوند تا سطح آلفای راه حل را پیدا کنیم. ما این راه حل را با xI نشان می دهیم:

 

for all x ∈ f(supp(˜a11)), and (˜xI)i(x) = 0, for all x ∈ R \ f(supp(˜a11)).

برای هر x ∈ f(supp(˜a11))، (˜xI)i(x) = 0 و برای x ∈ R \ f(supp(˜a11)).

We prove that this is essentially the same as the solution xB of Buckley and Qu:

ما ثابت می کنیم که این اساساً مشابه همان راه حل XB بوکلی و Qu می باشد:

 

 

 

Note 2 In the case of one fuzzy number the proposed optimization doesn&rs

/ 0 نظر / 21 بازدید